质数是一群淘气的孩子！66 作者>

来源|转自知乎专栏《凡事都算数》，《数学英才》获授权转载。在此感谢！

质数ABC

素数，也称为质数:

素数是只有1和它自己的两个因子的自然数。大于1的非质数是合数，1既不是合数也不是质数。

质数不能放在矩形里。

算术基本定理体现了素数的地位。

定理1(算术基本定理)所有正整数都可以表示为素数的乘积。

不考虑质数排列顺序，这样的分解是唯一的。

如果1也算素数，则素数分解不唯一。每一个正整数都像是质数组成的化合物，可以分解成最简单的质数原子。每个正整数的“化学式”都是唯一的。事实上，根据算术基本定理，我们可以将正整数写成以下形式:

所以我们可以只用指数列来表示任意正整数。质数的概念至少在古希腊就出现了。然而，两千年后，质数定律仍然没有完全展现在世人面前。因为素数定律几乎是随机的，没有人能准确预测下一个素数会落在哪里。古希腊数学家厄拉多塞的筛选法是判断素数的最基本工具:

定理2(埃利希筛法)若不能被前面所有素数整除，则为素数。

之所以只需要检查前面的素数，是因为反比例函数是轴对称的。

有无穷多个素数吗？欧几里德给出了一个神奇的证明:如果有有限个素数，那么所考虑的数显然不能被所有已知的素数整除。这时候有两种情况:

如果是质数，但是(因为比已知质数大)，这与假设相矛盾；

如果是合数，根据算术基本定理，一定有一个素数的素因子。但是，(因为已知的素数都是不能整除的)，这就有矛盾了。

所以这个假设不成立—

定理3素数有无穷多个！

素数是整数乘法系统的基石。只要素数成立，很多命题自然对一般整数成立。

因为素数是如此的不规则，所以相邻素数之间的距离也是数学家关心的问题。其实素数之间的距离可以任意大，只要注意下面的连续数列就可以了。

如果把素数之间的距离看成一个序列，那么这个序列中就有子列(所谓子列，从集合的角度来看是无穷元素的子集，但新序列的顺序仍然是按照原序列的下标由小到大，比如奇数列是自然序列的子列，奇数按由小到大的顺序排列)，这个子列就趋于正无穷大。我们把这种现象表述为:

孪生素数是差为2的素数对。让我们在项后列出最小的素数距离，

但是，没有人知道这个序列中2是否有尽头。也有可能随着项数足够大，素数间距将不再小于或等于4，6，8，…甚至趋于无穷大。2013年，张给出了一个让人放心的答案:这个系列不会超过7000万，即

孪生素数猜想等价于:

质数和等差数列也有独特的命运。

定理4(狄利克雷定理)等差数列中有无数个素数，当。

2004年，格林和陶哲轩也证明了素数中存在任意长度的等差数列。

素数定理

背景是一个质数螺旋图。

我们把满足以下性质的数论函数命名为乘法函数:如果，那么

由于所有大于1的正整数都可以被质因数分解，所以对于乘法函数，

所以函数值可以转换成值。

例如，欧拉函数表示不超过的正整数中互质的个数。欧拉函数是一个乘法函数:

引理5如果是，那么

证明:设都是不超过且互质的数；它是一个不超过的数，并且是互质的。因为，是的

所以至少有数和互质，也就是。

另一方面，互质的数，必须与和互质，同理，中的数可以构造为与和同时互质，这是可以解释的。

容易计算

所以利用欧拉函数的乘法，我们可以得到

推论6，

关于欧拉函数有一个著名的定理。

定理7那么

让它发生吧。

推论8(费马小定理)，那么

证明很简单，但需要补充约化剩余系的内容，所以省略。顺便说一下—

定理9(威尔逊定理)是素数的充要条件。

威尔逊定理也有很多变体。

lt通过左右滑动可以看到公式 gt；

但是不实用。目前快速判别素数的计算机方法是基于费马小定理的逆命题。而逆命题不成立时有一个反例——伪素数，但其出现的概率极低。

就连欧拉也感慨地说，“世界上有很多奥秘是人类的智慧无法解释的。如果你看看质量表，你会发现它是如此无序，毫无规则可言。”然而，凭借他非凡的洞察力，欧拉发现了以下公式:

定理10

lt通过左右滑动可以看到公式 gt；

证明:证明只需要比例级数的公式:

然后展开括号，

lt通过左右滑动可以看到公式 gt；

对照原表格左右两边的条款，不要一一重读或漏读。(绝对收敛级数的求和顺序不影响最终结果)

其实也可以用这个公式证明有无穷多个素数。假设素数是有限的，那么

然而，

调和级数发散。所以等式左右两边同时的极限是不相等的，也是矛盾的。

利用高等数学的技巧，我们可以得到以下特例:

推论11

质数、自然数和圆周率有着奇妙的联系。

当时人们并没有意识到欧拉恒等式的作用。另一方面，高斯和勒让德猜到了素数的递进公式:

定理12(素数定理)

值得一提的是勒让德关于素数计数函数的公式:

定理13(勒让德)，

lt通过左右滑动可以看到公式 gt；

这个公式其实和欧拉函数公式有关(推论5)。如果去掉上式中等号右边的整个符号，那么

其中就有。所以去吧

这个怎么理解？因为对我来说，前面的数可以整除，也就是和不是质数；之后互质只能是新的素数。当然，这个有趣的推理其实是很不严谨的，而且是建立在一个很难实现的前提上——之前所有的素数都可以整除。

直到黎曼解析地将欧拉定义的函数推广到复平面(挖出了这个奇点)，一切才变得清晰。黎曼甚至给出了更精确的素数定理猜想，相当于我们现在所说的黎曼猜想:的所有非平凡零点都分布在这条直线上。

原来的素数定理只需要证明:上面没有零点。这一事实终于在1896年被Adama和de la Vallebussan根据黎曼的思想，独立地使用先进的整函数理论证明。1949年，塞尔伯格和鄂尔多斯独立地给出了素数定理的初等证明。

素数定理的证明

对素数的研究可能永远不会结束。质数就像一群淘气的孩子。你可以随意在他身上画各种条条框框，但不能全部约束。但他偶尔也有听话可爱的一面，站在你不知道的零散地方，等待数学家去发现。

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